中心极限定理

定义

中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是统计学中的一个基本定理，描述了在某些条件下，独立同分布的随机变量的样本均值的分布趋近于正态分布的特性。该定理指出，当样本容量足够大时，无论原始变量的分布形态如何，样本均值的分布都将近似于正态分布。

起源

中心极限定理的概念最早可以追溯到 18 世纪末和 19 世纪初，随着概率论的发展而逐渐成形。其现代形式由法国数学家皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在 1810 年首次提出，并在后来的研究中不断完善。

类别和特征

中心极限定理的主要内容包括：独立同分布：样本必须是相互独立且来自相同分布的随机变量。样本容量：样本容量越大，样本均值的分布越接近正态分布。通常认为样本容量大于 30 时，中心极限定理就开始显现其效果。均值和方差：样本均值的期望值等于总体均值，样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。

案例研究

案例一：假设某公司希望通过抽样调查来估计其产品的平均使用寿命。即使产品寿命的分布不是正态分布，只要样本容量足够大（如超过 30），根据中心极限定理，样本均值的分布将近似于正态分布，从而可以使用正态分布来进行统计推断。案例二：在金融市场中，投资者常常使用历史收益率数据来预测未来收益。即使单个股票的收益率分布不符合正态分布，通过对多个股票的收益率进行抽样，投资组合的平均收益率分布将趋于正态分布，这有助于风险管理和投资决策。

常见问题

常见问题包括：样本容量不足时，中心极限定理可能不适用，导致样本均值分布偏离正态分布。误解中心极限定理的适用条件，如忽视独立性和同分布性要求，可能导致错误的统计推断。