预期效用

核心描述

• 预期效用是一个基本的决策分析框架，它帮助个人和机构在不确定环境下，通过结合主观偏好和概率来选择最佳方案。
• 预期效用通过效用函数反映风险偏好，使得决策不仅基于简单的期望值，更考虑不同人的风险态度。
• 预期效用广泛应用于投资、保险、政策评估和公司战略决策中，同时，相关经验悖论警示其局限性。

定义及背景

预期效用（Expected Utility, EU）理论为在不确定性下做出理性决策提供了数学基础，其理论起源可追溯至丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）、冯·诺伊曼（John von Neumann）和摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）。简单来说，预期效用描述了决策者在面对多种可能结果时，综合结果概率与个人偏好后，对不确定选项的 “满意度” 或 “价值” 评估。与仅关注金钱收益或损失的期望值不同，预期效用将个人风险态度与财富递减效用的观点纳入考量。

历史起源

预期效用理论诞生于解决经典概率理论悖论的背景下——最著名的是圣彼得堡悖论，即某些游戏虽然具有无穷大的期望金钱值，但理性个体并不会投入无限资金参与。伯努利（1738）提出财富递减边际效用的思想，认为财富越多，增加单位财富带来的效用越小，对应凹型的效用函数。冯·诺伊曼与摩根斯特恩（1944）则建立了公理化理论，证明了若个人的偏好满足完备性、传递性、独立性和连续性等理性假设，其决策可由最大化预期效用函数来刻画，该函数在正线性变换下唯一。

为什么使用预期效用？

预期效用理论是现代金融、保险与公共政策等领域的重要基础。它为风险与回报权衡提供系统方法，将主观风险偏好转化为量化指标，便于比较不同不确定选项，解释风险规避与分散投资逻辑，为保险定价提供理论依据。

计算方法及应用

计算流程

1. 列举所有可能结果
   明确决策对应的所有潜在结果（如金钱收益、健康状态）。

2. 分配概率
   为每个结果设定概率，所有概率之和必须为 1。

3. 选取效用函数
   选择反映风险偏好的效用函数 (u(x))。常见形式包括：

   • 恒定相对风险厌恶（CRRA）：(u(x) = x^\alpha)（(0 < \alpha < 1)）
   • 恒定绝对风险厌恶（CARA）：(u(x) = -e^{-\gamma x})
   • 平方根：(u(x) = \sqrt{x})
   • 对数型：(u(x) = \ln(x))

4. 将结果转化为效用值
   用效用函数计算每种结果对应的效用。

5. 加权求和
   用每个结果的概率加权其效用值，然后求和：
   [EU = \sum p_i u(x_i)]

示例计算

假设某人有 50% 概率获得 100 美元，50% 概率获得 0 美元，效用函数为 (u(x) = \sqrt{x})。

• (u($100) = 10)
• (u($0) = 0)

[EU = 0.5 \times 10 + 0.5 \times 0 = 5]

拓展应用

• 投资组合选择：在风险与收益之间寻找效用最大化的资产配置。
• 保险产品定价：权衡损失概率、保险费与风险缓解效用。
• 公司财务决策：通过效用函数评估项目的上行潜力与下行风险。
• 公共政策分析：在灾害防控等政策抉择中通过成本 -效用分析纳入不确定性。
• 医疗决策制定：用生存概率、治疗副作用、生活质量等多维效用综合评估治疗方案。

优势分析及常见误区

优势

• 反映风险态度：通过效用函数的形状体现风险厌恶、中性或偏好。
• 一致性决策准则：基于公理体系，帮助形成理性、稳定的决策逻辑，支持金融实践与监管制定。
• 广泛适用性：无论金钱还是健康、安全等非货币收益，或是主观/客观概率都适用。
• 理论基础：为资产定价、保险、行为金融等更复杂的模型提供基础。

劣势

• 描述性违背：实证研究表明，人的实际决策常违背预期效用理论（如阿莱斯悖论、厄尔斯伯格悖论、损失厌恶、框架效应）。
• 效用函数测量难度大：个体效用函数的准确测量往往复杂且依赖情景。
• 忽视极端灾难性风险：若效用函数敏感性不足，极端风险可能被低估。
• 公理要求苛刻：需要严格满足理性假设，实际行为未必完全符合。

常见误区

• 预期效用与期望值等同？
  错误。预期效用纳入风险偏好，单纯的期望值不考虑风险态度。对风险厌恶者而言，最大期望值的方案未必最优。

• 效用函数一定线性？
  错误。线性仅代表风险中性，大多数人表现为凹型（风险厌恶），也可为凸型（风险偏好）。

• 只能用于金钱场景？
  错误。效用还可刻画健康、休闲、安全等各种主观价值。

• 所有人都风险厌恶？
  不一定。模型允许随效用函数曲率不同表现不同的风险偏好。

• 仅适用客观概率？
  错误。预期效用既可用客观概率（频率），也可用主观概率（信念）。

对比表

实战指南

投资中应用预期效用的步骤

明确目标与约束
梳理决策目的（如退休财富的效用最大化）、时间范围及预算、流动性等限制。

选择效用函数
结合自身风险偏好选择合适的效用函数。例如，风险厌恶者倾向选择凹型效用。

量化风险偏好
可通过假设情景测算自己的风险容忍度（如 “你更倾向于确保 45 美元，还是参与 50% 概率赢取 100 美元的机会？”），调整效用函数参数。

分配概率
基于历史数据、经济预测或专业判断，给不同收益情景分配概率。

计算预期效用，做出选择
对每个投资组合或方案：

• 用效用函数转化所有可能结果。
• 乘以对应概率后求和得到预期效用。
• 选择预期效用最高的方案。

敏感性分析
分析风险偏好、概率或结果变动时，最优选择是否发生变化。

记录与复盘
记录所用效用函数、概率分配及结果。信息变更或目标调整时需及时复盘。

案例分析：退休投资组合分配（虚构示例）

某美国临退休居民，考虑将储蓄分配于国债和股票基金，设一年后预期如下：

• 方案一

  • 60% 国债，40% 股票
  • 结果概率分布：
    • 高（20%）：6 万美元
    • 中（50%）：5.5 万美元
    • 低（30%）：5.2 万美元
  • 效用函数：(u(x) = \sqrt{x})

• 方案二

  • 20% 国债，80% 股票
  • 结果概率分布：
    • 高（30%）：7 万美元
    • 中（40%）：5 万美元
    • 低（30%）：4 万美元

第 1 步：计算效用（取整）

• 方案一：(u(60000)=244.95)，(u(55000)=234.52)，(u(52000)=228.04)
• 方案二：(u(70000)=264.58)，(u(50000)=223.61)，(u(40000)=200.00)

第 2 步：计算预期效用

• 方案一：(0.2 \times 244.95 + 0.5 \times 234.52 + 0.3 \times 228.04 = 48.99 + 117.26 + 68.41 = 234.66)
• 方案二：(0.3 \times 264.58 + 0.4 \times 223.61 + 0.3 \times 200.00 = 79.37 + 89.44 + 60.00 = 228.81)

第 3 步：决策

• 方案一预期效用更高，尽管方案二有更优的高端结果，但因效用函数体现了风险厌恶，方案一更适合。

解读：
该方法让风险厌恶型投资者倾向于更平衡的配置，而非追求高波动回报的极致分配，即便平均收益可能相近。

本案例为虚构，仅作示范说明，非投资建议。

资源推荐

• 图书与论文

  • 《博弈论与经济行为》（John von Neumann & Oskar Morgenstern）
  • 《统计学基础》（Leonard J. Savage）
  • 《决策理论：原理与方法》（Giovanni Parmigiani 和 Lurdes Inoue，Wiley）
  • 综述类文献：Camerer（1995）、Starmer（2000），发表于 Journal of Economic Literature

• 在线学习平台

  • 斯坦福哲学百科全书："Expected Utility Theory" 词条
  • MIT OpenCourseWare：微观经济学与决策理论课程模块
  • Coursera、edX 等：行为经济学与决策理论公开课

• 学术期刊

  • Econometrica
  • Journal of Political Economy
  • Journal of Risk and Uncertainty

• 实用工具

  • 各大理财平台提供的效用测算工具
  • 金融理财协会提供的风险测评问卷工具

常见问题

预期效用到底是什么？

预期效用衡量的是，个体在面对不确定选择时，综合每个结果发生概率及其效用后，能获得的平均满意度（或价值）。

与期望值有何不同？

期望值只按概率加权结果，未考虑个人风险偏好。预期效用利用效用函数反映风险态度，选择结果可能不同。

效用函数曲线形状说明什么？

凹型效用函数表示风险厌恶，即更喜欢确定性。线性为风险中性，凸型为风险偏好。

为什么现实中人不总按预期效用理论决策？

实证研究表明，人往往会受到表述方式影响，对小概率事件权重出现偏差，或讨厌不确定性，导致行为偏离预期效用。

预期效用是否仅用于金钱决策？

不是。只要涉及不确定结果和个人主观价值权衡（如健康、时间），都可以用预期效用方法。

金融领域如何用预期效用？

投资经理会结合客户风险承受能力和市场概率，使用效用最大化原则进行资产配置。

应用预期效用时常见错误有哪些？

常见错误有：混淆期望值与预期效用、假设所有人都线性效用、忽略个体风险偏好、低估极端风险等。

总结

预期效用理论为在经济与金融决策中应对不确定性提供了理性、系统的指导。该理论通过效用函数整合各种可能结果与风险偏好，弥合了理论模型与现实行为之间的差距。虽然现实中存在一定的违背与局限，但其依然是投资、保险、监管及公司战略等领域的理论基础。随着研究的深入，预期效用理论不断被修正和拓展，其本质理念依然深刻影响着现代经济决策方法。理解并恰当应用预期效用，有助于实现更符合自身目标与约束的理性选择。