預期效用

核心描述

• 預期效用是一個基本的決策分析框架，它幫助個人和機構在不確定環境下，通過結合主觀偏好和概率來選擇最佳方案。
• 預期效用通過效用函數反映風險偏好，使得決策不僅基於簡單的期望值，更考慮不同人的風險態度。
• 預期效用廣泛應用於投資、保險、政策評估和公司戰略決策中，同時，相關經驗悖論警示其侷限性。

定義及背景

預期效用（Expected Utility, EU）理論為在不確定性下做出理性決策提供了數學基礎，其理論起源可追溯至丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）、馮·諾伊曼（John von Neumann）和摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）。簡單來説，預期效用描述了決策者在面對多種可能結果時，綜合結果概率與個人偏好後，對不確定選項的 “滿意度” 或 “價值” 評估。與僅關注金錢收益或損失的期望值不同，預期效用將個人風險態度與財富遞減效用的觀點納入考量。

歷史起源

預期效用理論誕生於解決經典概率理論悖論的背景下——最著名的是聖彼得堡悖論，即某些遊戲雖然具有無窮大的期望金錢值，但理性個體並不會投入無限資金參與。伯努利（1738）提出財富遞減邊際效用的思想，認為財富越多，增加單位財富帶來的效用越小，對應凹型的效用函數。馮·諾伊曼與摩根斯特恩（1944）則建立了公理化理論，證明了若個人的偏好滿足完備性、傳遞性、獨立性和連續性等理性假設，其決策可由最大化預期效用函數來刻畫，該函數在正線性變換下唯一。

為什麼使用預期效用？

預期效用理論是現代金融、保險與公共政策等領域的重要基礎。它為風險與回報權衡提供系統方法，將主觀風險偏好轉化為量化指標，便於比較不同不確定選項，解釋風險規避與分散投資邏輯，為保險定價提供理論依據。

計算方法及應用

計算流程

1. 列舉所有可能結果
   明確決策對應的所有潛在結果（如金錢收益、健康狀態）。

2. 分配概率
   為每個結果設定概率，所有概率之和必須為 1。

3. 選取效用函數
   選擇反映風險偏好的效用函數 (u(x))。常見形式包括：

   • 恆定相對風險厭惡（CRRA）：(u(x) = x^\alpha)（(0 < \alpha < 1)）
   • 恆定絕對風險厭惡（CARA）：(u(x) = -e^{-\gamma x})
   • 平方根：(u(x) = \sqrt{x})
   • 對數型：(u(x) = \ln(x))

4. 將結果轉化為效用值
   用效用函數計算每種結果對應的效用。

5. 加權求和
   用每個結果的概率加權其效用值，然後求和：
   [EU = \sum p_i u(x_i)]

示例計算

假設某人有 50% 概率獲得 100 美元，50% 概率獲得 0 美元，效用函數為 (u(x) = \sqrt{x})。

• (u($100) = 10)
• (u($0) = 0)

[EU = 0.5 \times 10 + 0.5 \times 0 = 5]

拓展應用

• 投資組合選擇：在風險與收益之間尋找效用最大化的資產配置。
• 保險產品定價：權衡損失概率、保險費與風險緩解效用。
• 公司財務決策：通過效用函數評估項目的上行潛力與下行風險。
• 公共政策分析：在災害防控等政策抉擇中通過成本 -效用分析納入不確定性。
• 醫療決策制定：用生存概率、治療副作用、生活質量等多維效用綜合評估治療方案。

優勢分析及常見誤區

優勢

• 反映風險態度：通過效用函數的形狀體現風險厭惡、中性或偏好。
• 一致性決策準則：基於公理體系，幫助形成理性、穩定的決策邏輯，支持金融實踐與監管制定。
• 廣泛適用性：無論金錢還是健康、安全等非貨幣收益，或是主觀/客觀概率都適用。
• 理論基礎：為資產定價、保險、行為金融等更復雜的模型提供基礎。

劣勢

• 描述性違背：實證研究表明，人的實際決策常違背預期效用理論（如阿萊斯悖論、厄爾斯伯格悖論、損失厭惡、框架效應）。
• 效用函數測量難度大：個體效用函數的準確測量往往復雜且依賴情景。
• 忽視極端災難性風險：若效用函數敏感性不足，極端風險可能被低估。
• 公理要求苛刻：需要嚴格滿足理性假設，實際行為未必完全符合。

常見誤區

• 預期效用與期望值等同？
  錯誤。預期效用納入風險偏好，單純的期望值不考慮風險態度。對風險厭惡者而言，最大期望值的方案未必最優。

• 效用函數一定線性？
  錯誤。線性僅代表風險中性，大多數人表現為凹型（風險厭惡），也可為凸型（風險偏好）。

• 只能用於金錢場景？
  錯誤。效用還可刻畫健康、休閒、安全等各種主觀價值。

• 所有人都風險厭惡？
  不一定。模型允許隨效用函數曲率不同表現不同的風險偏好。

• 僅適用客觀概率？
  錯誤。預期效用既可用客觀概率（頻率），也可用主觀概率（信念）。

對比表

實戰指南

投資中應用預期效用的步驟

明確目標與約束
梳理決策目的（如退休財富的效用最大化）、時間範圍及預算、流動性等限制。

選擇效用函數
結合自身風險偏好選擇合適的效用函數。例如，風險厭惡者傾向選擇凹型效用。

量化風險偏好
可通過假設情景測算自己的風險容忍度（如 “你更傾向於確保 45 美元，還是參與 50% 概率贏取 100 美元的機會？”），調整效用函數參數。

分配概率
基於歷史數據、經濟預測或專業判斷，給不同收益情景分配概率。

計算預期效用，做出選擇
對每個投資組合或方案：

• 用效用函數轉化所有可能結果。
• 乘以對應概率後求和得到預期效用。
• 選擇預期效用最高的方案。

敏感性分析
分析風險偏好、概率或結果變動時，最優選擇是否發生變化。

記錄與覆盤
記錄所用效用函數、概率分配及結果。信息變更或目標調整時需及時覆盤。

案例分析：退休投資組合分配（虛構示例）

某美國臨退休居民，考慮將儲蓄分配於國債和股票基金，設一年後預期如下：

• 方案一

  • 60% 國債，40% 股票
  • 結果概率分佈：
    • 高（20%）：6 萬美元
    • 中（50%）：5.5 萬美元
    • 低（30%）：5.2 萬美元
  • 效用函數：(u(x) = \sqrt{x})

• 方案二

  • 20% 國債，80% 股票
  • 結果概率分佈：
    • 高（30%）：7 萬美元
    • 中（40%）：5 萬美元
    • 低（30%）：4 萬美元

第 1 步：計算效用（取整）

• 方案一：(u(60000)=244.95)，(u(55000)=234.52)，(u(52000)=228.04)
• 方案二：(u(70000)=264.58)，(u(50000)=223.61)，(u(40000)=200.00)

第 2 步：計算預期效用

• 方案一：(0.2 \times 244.95 + 0.5 \times 234.52 + 0.3 \times 228.04 = 48.99 + 117.26 + 68.41 = 234.66)
• 方案二：(0.3 \times 264.58 + 0.4 \times 223.61 + 0.3 \times 200.00 = 79.37 + 89.44 + 60.00 = 228.81)

第 3 步：決策

• 方案一預期效用更高，儘管方案二有更優的高端結果，但因效用函數體現了風險厭惡，方案一更適合。

解讀：
該方法讓風險厭惡型投資者傾向於更平衡的配置，而非追求高波動回報的極致分配，即便平均收益可能相近。

本案例為虛構，僅作示範説明，非投資建議。

資源推薦

• 圖書與論文

  • 《博弈論與經濟行為》（John von Neumann & Oskar Morgenstern）
  • 《統計學基礎》（Leonard J. Savage）
  • 《決策理論：原理與方法》（Giovanni Parmigiani 和 Lurdes Inoue，Wiley）
  • 綜述類文獻：Camerer（1995）、Starmer（2000），發表於 Journal of Economic Literature

• 在線學習平台

  • 斯坦福哲學百科全書："Expected Utility Theory" 詞條
  • MIT OpenCourseWare：微觀經濟學與決策理論課程模塊
  • Coursera、edX 等：行為經濟學與決策理論公開課

• 學術期刊

  • Econometrica
  • Journal of Political Economy
  • Journal of Risk and Uncertainty

• 實用工具

  • 各大理財平台提供的效用測算工具
  • 金融理財協會提供的風險測評問卷工具

常見問題

預期效用到底是什麼？

預期效用衡量的是，個體在面對不確定選擇時，綜合每個結果發生概率及其效用後，能獲得的平均滿意度（或價值）。

與期望值有何不同？

期望值只按概率加權結果，未考慮個人風險偏好。預期效用利用效用函數反映風險態度，選擇結果可能不同。

效用函數曲線形狀説明什麼？

凹型效用函數表示風險厭惡，即更喜歡確定性。線性為風險中性，凸型為風險偏好。

為什麼現實中人不總按預期效用理論決策？

實證研究表明，人往往會受到表述方式影響，對小概率事件權重出現偏差，或討厭不確定性，導致行為偏離預期效用。

預期效用是否僅用於金錢決策？

不是。只要涉及不確定結果和個人主觀價值權衡（如健康、時間），都可以用預期效用方法。

金融領域如何用預期效用？

投資經理會結合客户風險承受能力和市場概率，使用效用最大化原則進行資產配置。

應用預期效用時常見錯誤有哪些？

常見錯誤有：混淆期望值與預期效用、假設所有人都線性效用、忽略個體風險偏好、低估極端風險等。

總結

預期效用理論為在經濟與金融決策中應對不確定性提供了理性、系統的指導。該理論通過效用函數整合各種可能結果與風險偏好，彌合了理論模型與現實行為之間的差距。雖然現實中存在一定的違背與侷限，但其依然是投資、保險、監管及公司戰略等領域的理論基礎。隨着研究的深入，預期效用理論不斷被修正和拓展，其本質理念依然深刻影響着現代經濟決策方法。理解並恰當應用預期效用，有助於實現更符合自身目標與約束的理性選擇。