凱利準則

核心描述

• 凱利準則（Kelly Criterion）是一種數學化的倉位管理方法，旨在根據估算的 “優勢” 和賠率，計算出最優的資金分配比例，從而最大化長期資本增長率。
• 凱利準則基於信息論原理，對賭博、投資組合管理及風險管理都有深遠影響。
• 在實際應用中，廣泛採用折扣凱利（Fractional Kelly）來平衡風險和波動，使其適用於不同經驗層次的投資者。

定義及背景

凱利準則是一種以最大化財富對數期望為目標的倉位管理方法，引導投資者朝着可持續的長期資本增長邁進。該準則由約翰·L·凱利（John L. Kelly Jr.）於 1956 年在貝爾實驗室提出，最初源於信息論領域，將噪聲信道中的消息發送效率與賭注分配優化相聯繫。由於其數學嚴密性和實證效果，凱利準則逐步獲得認可。

凱利準則的核心思想在於，根據成功概率（“優勢”）和賠率，分配合適的資本比例。愛德華·索普（Edward O. Thorp）將這一定量方法首次應用於二十一點牌技和對沖基金管理中，驗證了其實際價值。相較於固化比例或情緒驅動的方法，凱利準則只基於理性的風險與收益預估進行倉位控制。

經過幾十年的發展，學術界和專業投資者將凱利準則拓展至多資產投資組合、風險管理和保險業。其本質——在風險可控的前提下把握增長機會——在各種獨立、重複的資本分配決策中始終適用。

計算方法及應用

公式

凱利準則在不同場景下有明確的計算公式：

二項分佈情境（如賭博）:
最優資金分配比例（f*）為：

f* = (bp - q) / b

其中：

• b = 每單位資金的淨賠率（如投資 1 元能獲得 b 元淨收益）
• p = 獲勝概率
• q = 失敗概率 = 1 − p

若 f* 為負數，表示不應下注；若 f*>1，建議最大投入只有本金（即全部資金）。

金融投資場景（資產收益率服從幾何布朗運動模型時）：

f* = μ / σ²

其中：

• μ = 預期超額收益（即高於無風險利率的平均收益）
• σ² = 收益的方差（風險）

表格：凱利倉位比例示例（二項分佈）

實際應用

凱利準則可應用於：

• 股票、債券、期權等資產配置的風險管理
• 期權交易和做市
• 保險與再保險資金管理
• 企業財務與大宗商品交易

對於多資產投資組合，可採用如下公式：

f* = Σ⁻¹ μ

其中：

• μ：各資產的預期超額收益向量
• Σ：資產收益協方差矩陣

現實環境下的調整

由於現實世界存在估算誤差和各類約束，許多實務人員採用折扣凱利（如 0.5 凱利或 0.33 凱利），即實際分配僅為理論凱利比例的一部分，從而降低波動和風險。

優勢分析及常見誤區

與其他資金管理方法的對比

• 固定比例法： 每次分配相同百分比資金，操作簡單，但無法因應概率和賠率的變化，可能高估劣勢機會、低估優勢機會。
• 現代投資組合理論（MPT）： 在給定風險下優化收益，凱利則專注於最大化對數複利增長，有時在優勢強時會更激進。
• 資本資產定價模型（CAPM）： 着重於市場風險，凱利聚焦於個體機會的獨特 “優勢”，但對輸入參數的準確性更敏感。
• 馬丁格爾策略（Martingale）： 虧損後加大投入，風險極高，凱利則逆向，虧損後適當減少倉位。

主要優勢

• 最大化長期對數增長率： 理論和實證均證實，凱利能高效提升資本的複合增長。
• 紀律性強： 以計算得出的優勢為依據，規避 “拍腦袋” 或情緒化決策。
• 靈活適用： 可擴展至單一資產、多資產、甚至多策略投資場景。

常見誤區

• 混淆期望值與對數增長： 凱利最大化的是對數財富期望，不是直接的平均回報，這影響了複利和風險結構。
• 過度自信於參數估算： 凱利極度依賴準確的概率和風險估算，參數偏差會導致風險失控。
• 忽視相關性： 凱利假設決策獨立，若資產有相關性，需用協方差矩陣調整。
• 未計入成本和約束： 各類手續費、税收、融資槓桿限制等均需納入模型，避免高估實際倉位。

實戰指南

凱利準則應用流程

1. 明確 “優勢” 並估算概率

• 通過歷史數據、量化模型、統計分析等方式，估算獲勝概率（p）及相應賠率（b）。
• 必須調整和扣除交易成本、滑點、税費等。

2. 計算凱利比例

• 按所處情境（離散或連續）套用凱利公式。
• 若對概率等參數不確定，可將 p 向 0.5 靠攏，並做壓力測試。

3. 執行折扣凱利

• 可按照 0.25 至 0.5 等比例折扣理論凱利倉位，以降低風險和波動。
• 具體折扣比例可結合自身風險偏好和歷史回測結果制定。

4. 持續監控與動態調整

• 實際效果與模型預測須持續對比回顧。
• 隨輸入參數變化及時調整倉位。

虛擬案例：用凱利準則管理股票組合波動

場景：
某投資者對一組小盤股做回測，估算年化超額收益（μ）為 7%，年化波動率（σ）為 20%。按凱利公式：

f* = μ / σ² = 0.07 / 0.04 = 1.75

理論上全凱利應加 1.75 倍槓桿，實際操作上可選擇 1/3 折扣凱利：

實際投資比例 = 1.75 × 0.33 ≈ 0.58，即 58% 資金配置於該組合，槓桿嚴格受監管或自律約束。

效果模擬：
運用美國市場公開數據（如 Fama-French 小盤價值指數）回測顯示，一份 1/3 凱利規模的配置，可以獲得較優的風險收益比，且壓力測試下最大回撤可控。

啓示：折扣凱利法則能兼顧增長潛力和風險管理，尤其在環境不確定、參數估算有誤差時更應保守。

資源推薦

• 原始文獻：

  • Kelly, J.L. Jr. (1956) “A New Interpretation of Information Rate.” Bell System Technical Journal.
  • Breiman, L. (1961) “Optimal Gambling Systems for Favorable Games.”
  • Thorp, E.O.（1969, 2000）相關投資組合理論討論。

• 經典書籍：

  • MacLean, Thorp, Ziemba 主編《The Kelly Capital Growth Investment Criterion》（World Scientific, 2011）
  • William Poundstone 著《財富公式》，通俗梳理凱利準則歷史與應用
  • Edward Thorp 著《A Man for All Markets》，實戰視角詳解資金管理

• 在線課程與講義：

  • MIT 15.433，斯坦福 MS&E，耶魯大學投資組合理論系列課程資源
  • 各大高校關於對數效用與風險管理的課堂筆記

• 實用教程與代碼庫：

  • 維基百科關於凱利準則的詞條（基礎、公式、爭議等）
  • Quantitative Finance Stack Exchange 系列討論
  • GitHub：含凱利倉位管理 Python/R 包（如 R 語言 PortfolioAnalytics 等）

• 行業期刊：

  • The Journal of Portfolio Management
  • Quantitative Finance
  • Management Science
  • CFA Institute Research Foundation 等研究簡報

• 券商及平台資源建議：

  • 主流券商、長橋證券等金融平台的講座、文章、計算器與系統管理教程
  • 使用長橋證券等支持系統化倉位與風險控制功能的平台資源

常見問題

凱利比例到底表示什麼？

凱利比例是指在重複且獨立的投資/投機機會中，為最大化長期資本增長率每次應投入的資金佔比。

二項獲勝場景下，凱利比例如何計算？

f* = (bp − q) / b，其中 p 為成功概率，b 為淨賠率，q 為失敗概率。

什麼是折扣凱利？為什麼大多數人建議這麼做？

折扣凱利（Fractional Kelly）是將理論凱利比例按一定比率（如 0.5 或 0.25）執行。這樣能顯著降低風險和回撤，對參數估算不準時更安全。

凱利準則存在哪些風險？

最大風險主要來自參數（概率、收益）估算失誤、忽視相關性、未納入成本、低估波動引發的資金回撤。

多資產且相關性較高時，凱利如何調整？

組合凱利準則用協方差矩陣來調整，相關性高的資產倉位下調，無關或低風險資產權重提升。

“優勢” 怎麼估算才靠譜？

綜合歷史統計、量化模型及市場隱含概率，進行回測並修正樣本偏差和市場環境變化。

交易成本對凱利怎麼影響？

無論手續費還是税收，都會降低實際超額收益，從而使凱利推薦的倉位比例下降。務必用 “淨收益” 作參數估算。

如何在實盤平台上落實凱利倉位管理？

將凱利比例轉換為每次具體交易的資金規模（如買入的股數或合約數），嚴格設置倉位上限，市場變化時及時再平衡，並用券商或長橋證券等平台的風險管理工具輔助執行。

總結

凱利準則是一套以數學為基礎、追求長期資本增長的資金分配方法。其源自信息論，通過實證與理論驗證在經典和現代金融市場均展現出獨特價值。然而理論上全凱利雖最優，但對輸入數據的誤判和實際市場摩擦極為敏感。

因此實際中廣泛採用折扣凱利，倡導 “穩健增長、風險可控”。無論是投資者還是專業風險管理者，越來越多地將凱利理念與其他風控和流動性控制框架結合，動態適應不斷變化的市場環境。

總之，凱利準則是極具參考價值但非 “唯一標準” 的倉位工具。只有經常回溯評估參數、壓力測試預案，並結合現實約束，才能最大程度兼顧收益追求與本金安全。這一原則自其提出至今，始終未失其現實意義。