大數法則
大數法則是概率論中的一個基本定理，它描述了在大量重複試驗中，樣本的平均值將近似於總體的期望值。具體來説，當試驗次數趨於無窮大時，樣本平均值會以概率 1 收斂到總體的期望值。大數法則有兩個主要版本：弱大數法則和強大數法則。弱大數法則指出樣本平均值在概率上趨近於總體期望值，而強大數法則則進一步説明樣本平均值幾乎必然趨近於總體期望值。
定義：大數法則是概率論中的一個基本定理，它描述了在大量重複試驗中，樣本的平均值將近似於總體的期望值。具體來説，當試驗次數趨於無窮大時，樣本平均值會以概率 1 收斂到總體的期望值。大數法則有兩個主要版本：弱大數法則和強大數法則。弱大數法則指出樣本平均值在概率上趨近於總體期望值，而強大數法則則進一步説明樣本平均值幾乎必然趨近於總體期望值。
起源：大數法則的概念最早可以追溯到 17 世紀，由雅各布·伯努利提出。他在其著作《Ars Conjectandi》中首次系統地闡述了這一定理。後來，19 世紀的數學家切比雪夫和馬爾可夫進一步發展了這一理論，提出了更為嚴格的數學證明。
類別與特點：大數法則主要分為兩類：弱大數法則和強大數法則。
- 弱大數法則：它指出，當試驗次數趨於無窮大時，樣本平均值在概率上趨近於總體期望值。換句話説，對於任意小的正數ε，樣本平均值與總體期望值之差的絕對值大於ε的概率會趨近於零。
- 強大數法則：它進一步説明，當試驗次數趨於無窮大時，樣本平均值幾乎必然（以概率 1）趨近於總體期望值。這意味着樣本平均值與總體期望值之差的絕對值會幾乎必然趨近於零。
具體案例：
- 拋硬幣實驗：假設我們進行大量的拋硬幣實驗，每次拋硬幣的結果是正面或反面。根據大數法則，當拋硬幣的次數趨於無窮大時，正面出現的頻率將趨近於 0.5，即硬幣正面和反面出現的概率相等。
- 股票市場回報率：在金融市場中，投資者可以通過大數法則來預測長期的股票市場回報率。儘管短期內股票價格可能波動較大，但從長期來看，股票的平均回報率將趨近於其歷史平均水平。
常見問題：
- 大數法則是否適用於小樣本？大數法則主要適用於大樣本，對於小樣本，樣本平均值可能會有較大偏差。
- 大數法則能否預測單次試驗結果？大數法則不能預測單次試驗的結果，它僅適用於大量重複試驗的平均結果。
